知泉的：語源＆由来辞典

下駄を預ける（げたをあずける）

・相手に物事の処理や責任をすべて任せること。

【語源＆由来】
語源は諸説あり。
(1)テキ屋などが親分に身柄を預け、その屋敷にあがりこむことからという説。下駄を預けるということは身柄を拘束されるという意味もあり、親分への忠誠心を表している。
(2)遊女の世界や歌舞伎の世界からきた言葉という説。客が遊里や芝居小屋に上がる時に履物を預けて、しばらくの間、その世界に身を委ねることから。